Teoría

Monomio

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural (solo números positivos).

Polinomio

Expresión algebraica que constituye la suma o la resta ordenadas de un número finito de términos o monomios.

Procedimiento Suma de Monomios

1.  Se escriben las expresiones una a continuación de otra y con sus respectivos signos.

2.  Se reducen los términos semejantes. Para reducir términos semejantes se procede de la siguiente forma:

• Si los términos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe el signo común
• Si los términos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe el signo del número mayor en valor absoluto.
• A continuación del signo y del coeficiente se escribe la parte literal
• Nota: recuérdese que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.

Procedimiento Suma de Polinomios

1.  Se ordenan los polinomios.

2.  Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los términos semejantes queden en la misma columna.

3.  Se reducen los términos semejantes:

• Se suman los términos positivos
• Se suman los términos negativos
• Se establece la diferencia entre los resultados obtenidos en a y b
• En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b.

4.  Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos.

Procedimiento Resta de Monomios

1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo.
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado.
3. Se reduce la expresión resultante.

Nota1: El minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.

Nota2: Dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.

Procedimiento Resta de Polinomios

1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.
3. Se reducen los términos semejantes

Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra.

Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.

Procedimiento Multiplicación de monomios

1. Se multiplican los signos entre sí (aplicando la "ley de los signos")
2. Se multiplican los coeficientes numéricos
3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores"

Procedimiento Multiplicación de un monomio por un polinomio

1.   Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, en el siguiente orden:     

• Se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos"
• Se multiplican los coeficientes numéricos.
• Se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base común y, sumando los exponentes respectivos.

2.   Se ordena el polinomio resultante.

Procedimiento Multiplicación de polinomios

1. Se ordenan los polinomios.
2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una línea horizontal debajo de estas dos filas.
3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los términos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes).
4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el producto del primer término del multiplicador y todos los del multiplicando; en la segunda fila, el producto del segundo término del multiplicador y todos los del multiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer término del multiplicador y todos los del multiplicando.
5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna.
6. Se reducen los términos semejantes.

Procedimiento División de monomios

1. Se aplica la ley de los signos
2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"
4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético.

Procedimiento División de un polinomio por un monomio

1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo.
2. Cada término del dividendo se divide por el divisor.

6. Se aplica la ley de los signos.
7. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.
8. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"
9. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético.

Procedimiento División de Polinomios

1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente.
3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante.
4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente
5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto  que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante
6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores.
7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Método de Ruffini

El método de Ruffini o también conocido como método de evaluación se utiliza para descomponer un polinomio en factores.

Por medio de un ejercicio daremos a conocer cómo funciona este método.

Los valores que daremos a x son los factores del término independiente 2 que son +1, -1, +2, -2.

Ahora se aplica la división sintética y simultáneamente se hallan los coeficientes del cociente de la división, así:

Coeficientes del polinomio.

El residuo es 0, o sea que el polinomio dado se anula para x=1, entonces es divisible por (x-1)

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Bibliografía

Baldor, Aurelio. (1991). Álgebra, Editorial Cultural Centroamericana S.A., Madrid.